제어시스템의 수학적 모델 구하기

제어시스템을 공부하려면 동적시스템(dynamic system)의 모델을 구하고, 동특성을 해석할 수 있어야 한다. 동적시스템의 수학적 모델은 시스템의 동특성을 정확하게 또는 아주 비슷하게 나타낼 수 있는 식들의 집합으로 정의된다. 주어진 시스템에 대한 수학적 모델은 유일하지가 않다. 관점에 따라 하나의 시스템을 여러 가지로 표현할 수 있기 때문에 여러 가지의 수학적 모델이 있을 수 있다. 기계시스템, 전기시스템, 열시스템, 경제시스템, 생체시스템 등 많은 시스템의 동특성은 미분방정식으로 표현될 수 있다. 이러한 미분방정식은 그 시스템을 지배하는 물리법칙으로부터 얻을 수 있다. 

이러한 미분방정식은 그 시스템을 지배하는 물리법칙으로부터 얻을 수 있다. 예를 들면 기계시스템에 대해서는 Newton의 법칙을 적용하고, 전기시스템에 대해서는 Kirchhoff의 법칙을 적용하여 미분방정식을 얻을 수 있다. 

적절한 수학적 모델을 구하는 것은 제어시스템의 전 해석과정에서 가장 중요한 부분이 라는 것을 명심하여야 한다. 

현대제어공학 책에서 고려하고 있는 시스템은 인과율원리(principle of causality)를 만족하고 있다고 가정한다. 이것은 시스템의 현재 출력(시간 t = 0에서의 출력)은 과거의 입력(t<0에 서의 입력)에 영향을 받지만 미래의 입력(t>0에서의 입력)에는 영향을 받지 않는다는 것을 의미한다. 

 

수학적 모델 : 수학적 모델은 여러 가지 다른 형태로 표시될 수 있다. 시스템의 종류와 상황에 따라 한 형태의 수학적 모델이 다른 형태의 수학적 모델보다 더 적합할 수 있다. 예를 들면, 최적제어문제에서는 상태공간방정식을 이용하는 것이 유리하다. 반면에 단일입력-단일출력 선형 시불변시스템에 대한 과도응답해석이나 주파수응답해석을 위해서는 전달함수를 이용하는 것이 편리하다. 일단 시스템의 수학적 모델이 구해지면, 제어시스템의 해석과 설계를 위해 여러 가지 해석적 도구나 컴퓨터 소포트웨어를 사용할 수 있게 된다. 

 

선형 시불변시스템과 선형 시변시스템 : 미분방정식의 계수가 상수이거나 독립변수만의 함수이면 이 미분방정식은 선형이다. 선형 시불변 집중파라미터의 요소들로 구성된 동적시스템은 선형 시불변(상수계수) 미분방정식으로 표현된다. 이러한 시스템을 선형시불변시스템(linear time_invariant system) 또는 선형 사수계수시스템(linear constant-coef-ficient sysetm)이라고 한다. 미분방정식의 계수가 시간의 함수로 표현되는 시스템을 선형 시변시스템(linear time-varying sytem)이라고 한다. 시변제어시스템의 예로서 우주선 제어시스템을 들 수 있다.

 

앞에서 동적시스템의 수학적 모델을 소개하였다. 앞으로 설명할건 전달함수와 임펄스응답함수를 설명한다.

 

제어이론에서 전달함수는 보동 선형 시불변 미분방정식에 의해 표시되는 요소나 시스템의 입출력 관계를 나타내기 위하여 사용된다. 이 절에서는 먼저 전달함수를 정의한 뒤 미분방정식 시스템의 전달함수를 유도한다. 그 다음에는 임펄스응답함수를 논의한다. 

 

전달함수는 선형 시불변 미분방정식 시스템의 전달함수(transfer function)는 모든 초기조건이 0이라는 가정 하에서, 출력(응답함수)의 Laplace 변환식과 입력(구동함수)의 Laplace 변환식의 비로 정의된다. 

 

전달함수에 관한 참고사항 

전달함수의 개념은 단지 선형 시불변 미분방정식 시스템에만 적용될 수 있다. 전달함수는 현재 선형 시불변시스템의 해석 및 설계에 널리 이용되고 있다. 전달함수에 관한 몇 가지 중요한 사실을 열거해 보면 다음과 같다. 

 

1. 시스템의 전달함수는 수학적 모델의 일종으로서, 시스템의 입력변수나 출력변수 사이의 미분방정식을 다른 연산 형태로 표현한 것이다. 

2. 전달함수는 시스템 그 자체의 성질이기 때문에 입력(또는 구동함수)의 크기나 종류에 무관하다.

3. 전달함수는 입력과 출력의 단위를 포함하고 있다. 그러나 전달함수는 시스템의 물리적 구조에 관한 정보를 담고 있지 않다.

4. 시스템의 전달함수가 주어지면 여러 가지 입력에 대한 출력(또는 응답)을 연구하여 그 시스템의 성질을 이해할 수 있다. 

5. 시스템의 전달함수를 모를 경우에, 실험적으로 주어진 입력에 대한 출력을 구함으로써 전달함수를 구할 수 있다. 일단 전달함수가 구해지면 시스템의 동특성은 전달함수에 의해 완전히 표현되어진다. 

 

합성곱적분 : 선형 시불변시스템의 전달함수 G(s)는 다음과 같이 주어진다. 

 

G(s) = Y(s)/X(s)

 

여기서 X(s)는 입력을 Laplace 변환한 것이고 , Y(s)는 출력을 Laplace 변환한 것이다. 

Laplace 변환 시 관련된 모든 초기조건은 0이라고 가정한다. 그러면 출력 Y(s)는 G(s)와 X(s)의 곱으로 주어진다. 

복소영역에서의 곱은 시간영역에서 합성곱(convolution)으로 나타난다. 그러므로 Laplace 역변환하면 다음과 같은 합성곱적분을 얻을 수 있다. 

임펄스응답함수 : 초기조건이 0일 때 단위임펄스입력에 대한 시스템의 출력(응답)을 고려해 보자. 단위임펄스함수를 Laplace 변환한 것이 1이므로, 시스템의 출력을 Laplace 변환한 것은 다음과 같다. 

Y(s) = G(s)

 

Y(s) = G(s)에 주어진 출력을 Laplace 역변환한 것이 임펄스응답함수(impulse-response function)이다. 

 

따라서 임펄스응답함수 g(t)는 초기조건이 0일 때 단위임펄스입력에 대한 선형 시불변시스템의 응답이다.